圆锥曲线定点定值问题方法总结（圆锥曲线定点定值问题方法总结 知乎）



1、圆锥曲线定点定值问题方法

圆锥曲线定点定值问题方法

圆锥曲线定点定值问题是高考数学中的重要内容，解决此类问题的方法多样，本文将对常见的解题方法进行，以帮助考生全面掌握此类问题的解法。

一、消元替换法

1. 用点代参法：

- 将定点坐标代入方程，利用代数技巧将方程化简为仅含一个变量的方程。

- 求出该变量的值，再代回方程求出定值。

2. 用割线法：

- 过定点作任意一条割线，利用割线定理、勾股定理或相似定理将割线长或线段长表示为方程中变量的式子。

- 根据定点定值条件，将式子与定值进行比较，解出方程，求出变量值和定值。

二、极值法

1. 求导法：

- 将方程中含有变量的项看成函数，对变量求导。

- 令导数为零，求出导数为零时的变量值，再代回方程求出定值。

2. 配方法：

- 对于以抛物线或双曲线为代表的方程，可以利用配方法将方程化为完全平方或完全平方差的形式。

- 根据定点定值条件，求出定值与变量关系的方程，再解出变量值和定值。

三、代数法

1. 韦达定理：

- 对于一元二次方程，其根满足韦达定理：x1 + x2 = -b/a，x1x2 = c/a。

- 根据定点定值条件，可以利用韦达定理将定值与变量的关系表示为方程，进而求解变量和定值。

2. 判别式：

- 一元二次方程的一元二次方程的判别式Δ = b2 - 4ac。

- 根据定点定值条件，可以利用判别式与定值的关系求解变量和定值。

圆锥曲线定点定值问题的方法多样，考生应熟练掌握以上常见解法，并根据具体题目选择合适的方法进行求解。通过不断的练习和，考生可以提高自己的解题能力和准确率，在高考中取得优异成绩。

2、圆锥曲线定点定值问题方法 知乎

圆锥曲线定点定值问题方法

1. 坐标系法

将圆锥曲线方程移到以定点为原点的坐标系，利用坐标系的性质，求解定值。

2. 焦点弦长法

若定点是椭圆或双曲线的焦点，则定点到圆锥曲线上任意一点连线段的长度是定值。

3. 直线与圆锥曲线距离法

若定点不在圆锥曲线上，则定点到圆锥曲线的距离是定值。

4. 垂线定理

若定点在圆锥曲线的准线上，则定点到圆锥曲线的垂线段的长度是定值。

5. 抛物线参数表示法

若圆锥曲线是抛物线，则可将其表示为参数方程，利用参数方程的性质求解定值。

6. 辅助线法

引入辅助线，利用辅助线与圆锥曲线的性质，求解定值。

7. 旋转法

将圆锥曲线方程旋转一定角度，使其转换为更简单的形式，便于求解定值。

8. 对称法

利用圆锥曲线的对称性，将定点与曲线上的其他点联系起来，从而求解定值。

9. 代数法

利用圆锥曲线方程代数变换，构造出与定点相关的代数表达式，从而求解定值。

10. 几何作图法

在图形中作图，利用几何作图的方法求解定值。

3、圆锥曲线的定点问题的基本思路

圆锥曲线的定点问题的基本思路

1. 定义

定点问题是求圆锥曲线上的点，使得圆锥曲线关于该点具有一定的性质，例如对称、切圆等。

2. 基本思路

解决圆锥曲线的定点问题的基本思路如下：

确定点的性质：明确所要找的点的性质，如对称中心、切点等。

利用代数恒等式：根据点的性质，结合圆锥曲线的方程建立代数恒等式。

解代数方程：求解建立的代数恒等式，得到点的坐标。

3. 特殊情况

若定点问题要求寻找圆锥曲线的 对称中心，则直接利用方程的中点公式计算。

若定点问题要求寻找圆锥曲线与一条直线的 对称中心，则利用中点法求对称中心，并联立方程求出圆锥曲线上一点的坐标。

若定点问题要求寻找圆锥曲线与一个圆的 切点，则根据切线垂直于圆心到切点的连线，建立方程求解。

4. 例题

例：求椭圆 \(\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1\) 的对称中心。

解：

对称中心是 \((0, 0)\)。

例：求抛物线 \(y=x^2+2x\) 与直线 \(y=3\) 的对称中心。

解：

联立方程组如下：

y=x^2+2x

y=3

解得 \(x=1, y=3\)。

对称中心为 \((1, 3)\)。

例：求圆锥曲线 \(x^2 + y^2 - 4x + 6y - 3 = 0\) 与圆 \((x-2)^2 + (y+1)^2 = 4\) 的切点。

解：

切线方程为：

```

(x-2)cosα + (y+1)sinα = 2

```

其中 \(\alpha\) 为切线与 \(x\) 轴之间的夹角。

联立圆方程和切线方程，解得 \(\alpha = \pm \frac{\pi}{3}\)。

切点坐标分别为 \((4, -1)\) 和 \((0, 3)\)。