求极限方法总结考研（考研求极限的七个重要类型）



1、求极限方法考研

求极限方法考研

求极限是高等数学中至关重要的一环，也是考研数学考试的重点内容。本文了常见的求极限方法，旨在为考生提供一个清晰明了的复习框架，助其高效備考。

1. 代入法

当函数在极限点处连续时，可直接将极限点代入函数求解。

例：求$\lim_{x\to 2}x^2-1$

- 设$f(x)=x^2-1$，$f(2)=2^2-1=3$

- 故$\lim_{x\to 2}x^2-1=3$

2. 分解因子法

当分子和分母均为一元多项式时，可分解因子并约去公共因子，再求极限。

例：求$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}$

- 分解因子：$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, $x^2-1=(x-1)(x+1)$

- 约去公共因子$x-1$：

$\lim_{x\to 1}\frac{x^3-1}{x^2-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^2+x+1}{x+1}=\lim_{x\to 1}\frac{x+1}{x+1}=1$

3. 洛必达法则

当函数在极限点处不连续或导函数在极限点处不存在时，可使用洛必达法则求极限。

如果$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=0$或$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\pm\infty$，则：

$\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}$

例：求$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}$

- 设$f(x)=\sin x$, $g(x)=x$

- $\lim_{x\to 0}f(x)=\lim_{x\to 0}g(x)=0$

- $\lim_{x\to 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{x\to 0}\frac{\cos x}{1}=1$

- 故$\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1$

4. 泰勒展开法

当函数在极限点处可展开成泰勒级数时，可截取前几项求极限。

例：求$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}$

- 泰勒展开：$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots$

- 截取到$x^2$项：

$\frac{e^x-1}{x}=\frac{1+x+\frac{x^2}{2!}-1}{x}=\frac{x+\frac{x^2}{2!}}{x}=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2!}$

- 故$\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=\frac{1}{2}$

5. 夹逼定理

当函数$f(x)$, $g(x)$和$h(x)$在一点处极限相等，且$f(x)\le g(x)\le h(x)$，则：

$\lim_{x\to a}f(x)=\lim_{x\to a}g(x)=\lim_{x\to a}h(x)$

例：求$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}$

- 已知$0\le\sin\frac{1}{x}\le 1$

- 故$0\le\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}\le\sqrt{x}$

- $\lim_{x\to 0}0=\lim_{x\to 0}\sqrt{x}=0$

- 由夹逼定理可得：$\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\sin\frac{1}{x}=0$

通过掌握上述求极限方法，并熟练运用，考生可以有效应对考研数学中求极限的考题，提高得分率。

2、考研求极限的七个重要类型

考研求极限的七个重要类型

求极限是高等数学中重要的一章，也是考研数学中的常见考点。为了帮助考生更好地掌握求极限的方法，本文将介绍考研中经常出现的七个重要类型。

1. 无穷小极限

当自变量 x 无限趋近于某数（或无穷大）时，如果函数 f(x) 无限趋近于 0，则称 f(x) 在该数（或无穷大）处为无穷小。

2. 无穷大极限

当自变量 x 无限趋近于某数（或无穷大）时，如果函数 f(x) 无限趋近于无穷大，则称 f(x) 在该数（或无穷大）处为无穷大。

3. 不定式极限

当自变量 x 无限趋近于某数（或无穷大）时，如果函数 f(x) 的极限不存在或无穷大，则称 f(x) 在该数（或无穷大）处是不定式。

4. 夹逼定理

如果函数 f(x)、g(x)、h(x) 在 x 无限趋近于 a 处都存在极限，且 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，则 lim f(x) = lim g(x) = lim h(x)。

5. 洛必达法则

如果函数 f(x)、g(x) 在 x 无限趋近于 a 处都连续，且 f(a) = g(a) = 0 或 f(a) = g(a) = ∞，则 \(\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。

6. 泰勒展开

求极限时，可以通过泰勒展开将复杂函数转换为多项式函数，然后求出多项式函数的极限。

7. 渐近线

渐近线是指当自变量 x 无限趋近于某数（或无穷大）时，函数 f(x) 的图形无限逼近于一条直线或曲线。

掌握这些重要类型，考生可以在考研中快速识别求极限的类型，选择合适的方法进行求解，从而提高求极限的准确率和速度。

3、求极限的方法考研

求极限的方法考研

求极限是微积分中的基础概念和重要工具，在考研数学中占有相当大的分值。掌握求极限的各种方法对于提升考研数学成绩至关重要。本文将常见的求极限方法，为考研数学备考提供参考。

求极限的方法

1. 代入法

最直接的方法，直接将自变量的值代入函数中计算极限。

2. 因式分解法

将函数因式分解，化成可以约去的形式，然后求极限。

3. 分子有理化法

将分子中含有的根式、分式、三角函数等形式进行有理化，转化为易于求极限的形式。

4. 洛必达法则

对于不定式极限，即分母和分子都趋于0或∞的情况，可以使用洛必达法则求极限。

5. 夹逼法则

如果两个函数的极限都等于L，并且在x趋近于a时，给定的函数介于这两个函数之间，则给定函数的极限也等于L。

6. 单调有界定理

如果一个函数在某个区间内单调递增（或递减），且区间有界，那么该函数在区间的端点存在极限。

7. 泰勒公式法

对于级数形式的函数，可以利用泰勒公式来求极限。

应用技巧

1. 综合运用

不同的求极限方法往往可以相互结合使用，提高求解效率。

2. 熟记特殊极限

例如：lim(x->0)sin(x)/x = 1, lim(x->0)(1+x)^1/x = e。

3. 注意收敛顺序

对于含有多变量的函数，求极限时必须注意自变量的收敛顺序。

4. 利用极限的性质

极限的四则运算法则、极限的夹逼定理等可以帮助简化求解过程。

掌握求极限的各种方法是考研数学备考的重中之重。通过熟练运用这些方法，考生可以轻松应对考研数学中涉及极限的各类问题。希望本文的能为考研数学备考提供帮助，祝各位考研学子取得理想成绩。