重极限的计算方法（二元函数累次极限的计算方法）



1、重极限的计算方法

重极限的计算方法

一、重极限的存在条件

重极限存在的前提条件是：

1. 内极限存在；

2. 无论如何改变取极限的顺序，极限值都不变。

二、重极限的求法

1. 交换取极限次序法

当内极限与外极限相互独立时，可以交换取极限次序，即：

lim (lim f(x, y)) = lim (lim f(x, y))

2. 变量分离法

当内极限与外极限无法相互独立时，可以通过变量分离的方法求解。将函数分解为两个独立变量的函数，分别求外极限和内极限，然后合并结果。

3. 特殊值代入法

对于形如 lim f(x, y)/(x-a) 或 lim f(x, y)/(y-b) 的重极限，可以通过代入特殊值（如 x=a 或 y=b）的方法求解。

4. 绝对值估计法

当重极限不存在时，可以使用绝对值估计法估计极限值。通过求解函数的绝对值上界并取极限，可以得到重极限的上界和下界。

三、重极限的应用

重极限在数学和物理等学科中有着广泛的应用，例如：

计算双重积分和三维积分；

求解偏导数和全导数；

分析函数的收敛性；

求解微分方程。

2、二元函数累次极限的计算方法

二元函数累次极限的计算方法

1. 定义

累次极限是指经过有限次极限运算后得到的极限。对于二元函数 \(f(x, y)\)，若经过 \(n\) 次极限运算后极限存在，且记为 \(L\)，则称 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处存在累次极限，记为：

$$\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0, y\to y_0}f(x, y) = L$$

2. 交换顺序定理

在一定条件下，二元函数累次极限的顺序可以交换，即：

$$\lim_{n\to\infty}\lim_{x\to x_0, y\to y_0}f(x, y) = \lim_{y\to y_0}\lim_{x\to x_0, y\to y_0}f(x, y)$$

3. 计算方法

计算二元函数累次极限的一般方法如下：

步骤 1： 计算 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处沿着 \(y\) 轴方向的极限，记为 \(g(y)\)。

步骤 2： 计算 \(g(y)\) 在 \(y=y_0\) 处的极限，记为 \(L\)。

步骤 3： 如果 \(L\) 存在，则 \(f(x, y)\) 在 \((x_0, y_0)\) 点处存在累次极限，且等于 \(L\)。

4. 例题

计算函数 \(f(x, y) = \frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2}\) 在 \((0, 0)\) 点处的累次极限。

解答：

步骤 1：

$$\lim_{y\to 0}\frac{x^2 - y^2}{x^2 + y^2} = \lim_{y\to 0}\frac{x^2 - 0}{x^2 + 0} = 1$$

步骤 2：

$$\lim_{x\to 0}1 = 1$$

因此，函数 \(f(x, y)\) 在 \((0, 0)\) 点处存在累次极限，且等于 \(1\)。

3、重极限的计算方法是什么

重极限的计算方法

1. 极限交换定理

如果极限存在，则与交换求极限的顺序无关。也就是说，如果

lim_{x \to a} [lim_{y \to b} f(x, y)] = L

```

lim_{y \to b} [lim_{x \to a} f(x, y)] = L

```

2. 分步计算法

对于

```

lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)

```

可以先求出

```

lim_{x \to a} f(x, y_0)

lim_{y \to b} [lim_{x \to a} f(x, y)]

```

如果两者的极限都存在且相等，则原极限存在且与它们相等。

3. 因式分解法

如果存在函数 g(x) 使得

```

lim_{x \to a} g(x) = 0

lim_{(x, y) \to (a, b)} \frac{f(x, y)}{g(x)} = L

```

```

lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = 0

```

4. 夹逼定理

如果存在函数 g(x) 和 h(x) 使得

```

g(x) \le f(x, y) \le h(x)

lim_{x \to a} g(x) = lim_{x \to a} h(x) = L

```

```

lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = L

```