总结求函数极限的计算方法（总结求函数极限的计算方法有哪些）



1、求函数极限的计算方法

求函数极限的计算方法

1. 代入法

对于不定式极限，如果函数在极限点处有定义，则将极限点代入函数即可求出极限。

2. 因式分解法

对于分子分母均可因式分解的函数，可先将函数约分，再求分解因式后无限趋近于 0 的部分的极限。

3. 约分法

对于分子分母同为多项式的函数，可先约分，再求极限。

4. 除以最高次项法

对于分子分母均为多项式的函数，可先将分子分母除以最高次项，再求极限。

5. 洛必达法则

对于不定式极限中分子分母均趋近于 0 或无穷大，可对分子分母同时求导，再求极限。

6. 夹逼定理

如果 f(x) 在极限点处介于 g(x) 和 h(x) 之间，且 g(x) 和 h(x) 在该点处极限都为 L，则 f(x) 在该点处也极限也为 L。

7. 等价无穷小替换法

对于形如 sinx/x 或 (1+x)^a-1 的极限，可以使用等价无穷小替换法，分别用 x 和 a/x 代替 sinx 和 (1+x)^a-1。

8. 泰勒展开法

对于在极限点处可泰勒展开的函数，可使用泰勒展开法求极限。

9. 分部积分法

对于形如 u(x)v'(x) 的极限，可以使用分部积分法，将原式化为积分 u'(x)v(x)。

2、求函数极限的计算方法有哪些

求函数极限的计算方法

极限是微积分和数学分析中的一个基础概念，求函数极限是微积分的基础之一。本文将求函数极限的常见计算方法，为学习微积分的学生提供一份有用的参考。

I. 代入法

计算函数在极限点的值，如果存在，则该值为极限。

II. 因式分解法

将函数因式分解，化简为较简单的形式，然后求极限。

III. 分子分母有理化

对于含根式的函数，通过分子分母有理化，消除根号，再求极限。

IV. 洛必达法则

对于不定式极限，即分子分母同时为 0 或同时为无穷大，可以使用洛必达法则：

0/0 型：求分子分母的导数的极限。

∞/∞ 型：求分子分母的导数的极限。

V. 夹挤定理

若存在两个函数 f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)，且 limx→a f(x) = limx→a h(x) = L，则 limx→a g(x) = L。

VI. 柯西收敛判别法

对于序列 {xn}，若存在常数 M > 0，使得对于任意 ε > 0，都存在正整数 N，使得当 m > n > N 时，|xm - xn| < ε，则数列 {xn} 收敛。

VII. 单调收敛定理

对于单调递增或递减的有界序列 {xn}，存在极限 L = lim n→∞ xn。

VIII. 其他方法

分离点法

泰勒展开法

极限比较法

3、求函数极限的计算方法是什么

求函数极限的计算方法

极限是微积分中的一个重要概念，它表示当自变量趋近于某个值时函数的值趋近于某个值。求函数极限的方法有多种，包括：

1. 代入法

最直接的方法是将自变量直接代入极限表达式中，如果结果存在，那么该极限存在且等于该结果。例如：

$$\lim_{x\to 2} x^2 = 4$$

2. 因式分解法

对于有理函数（分子和分母都是多项式），可以将分子和分母分别因式分解，然后约去公因式，再对剩下的部分求极限。例如：

$$\lim_{x\to 2} \frac{x^2-4}{x-2} = \lim_{x\to 2} \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = \lim_{x\to 2} (x+2) = 4$$

3. 乘以共轭法

对于含根式的函数，可以将其乘以一个适当的共轭表达式，从而化简为无根式的形式，再求极限。例如：

$$\lim_{x\to 2} \sqrt{x+2} = \lim_{x\to 2} \sqrt{x+2} \cdot \frac{\sqrt{x+2}}{\sqrt{x+2}} = \lim_{x\to 2} \frac{x+2}{\sqrt{x+2}} = 4$$

4. 洛必达法则

当极限形式为$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty}{\infty}$时，可以使用洛必达法则求极限。该法则规定，如果函数$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处均为0或无穷大，并且$\lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$存在，那么：

$$\lim_{x\to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$$

5. 夹逼定理

夹逼定理指出，如果函数$f(x)$、$g(x)$和$h(x)$在$x_0$处均存在极限，且对于所有$x$满足$x\ne x_0$都有$g(x)\le f(x)\le h(x)$，那么：

$$\lim_{x\to x_0} g(x) \le \lim_{x\to x_0} f(x) \le \lim_{x\to x_0} h(x)$$

6. 单调性定理

如果函数$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增（或递减），那么当$x$趋近于$a^+$（或$b^-$）时，$f(x)$存在极限，且等于$f(a^+)$（或$f(b^-)$）。