求向量组的秩的三种方法（向量组的秩求解方法总结）



1、求向量组的秩的三种方法

求向量组的秩的三种方法

秩是衡量向量组线性相关性的一个重要指标，表示一个向量组中线性无关向量的最大个数。求向量组的秩有以下三种方法：

1. 行最简阶梯形法

将向量组写成增广矩阵。

对增广矩阵进行行最简化，得到行最简阶梯形矩阵。

阶梯形矩阵中非零行的个数就是向量组的秩。

示例：$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$$

行最简化后，得到：

$$A' = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$

因此，A 的秩为 3。

2. 子式法

先确定向量组的阶数 n（向量组中向量的个数）。

对于每一个 1 ≤ i ≤ j ≤ n，计算子式 $$D_{ij} = \det(A_{ij})$$，其中 A_{ij} 是 A 的前 i 行、前 j 列组成的子矩阵。

向量组的秩为最大非零子式的阶数。

示例：

$$A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$$

$$D_{11} = 1, D_{22} = -3, D_{33} = 1$$

所以，A 的秩为 3。

3. 线性组合法

设向量组为 {v1, v2, ..., vn}，其中 vi 的分量为 (v1i, v2i, ..., vni)。

对于每一个 i (1 ≤ i ≤ n)，设 $$c_1v1i + c_2v2i + ... + c_nvni = 0$$，其中 c1, c2, ..., cn 为常数。

这是一个齐次线性方程组，解为 $$c_1 = c_2 = ... = c_n = 0$$。

因此，向量组 {v1, v2, ..., vn} 线性相关。

如果解不唯一，则向量组线性无关，其秩为 n。

示例：

$$V = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 6 & 1 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix}$$

解 $$c_1 + 2c_2 - c_3 = 0 \\ 3c_1 + 6c_2 + c_3 = 0 \\ 2c_1 + 4c_2 + 3c_3 = 0$$

得到唯一解 c1 = c2 = c3 = 0，所以 V 线性相关，秩为 0。

2、向量组的秩求解方法

向量组的秩求解方法

在线性代数中，向量的秩是其线性相关的最大秩。向量组的秩是向量组中所有向量张成的空间的维度。求解向量组的秩是线性代数中常见而重要的问题，有多种方法可以实现。本文将常用的向量组秩求解方法。

方法 1：初等行变换

初等行变换是指在矩阵的行上进行以下三种操作：

1. 交换两行

2. 将某行乘以一个非零常数

3. 将某行加上另一行的倍数

步骤：

1. 将向量组组成矩阵。

2. 对该矩阵进行初等行变换化为阶梯形矩阵。

3. 阶梯形矩阵中秩等于非零行的个数。

方法 2：行列式

对于一个向量组\((\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n)\)，其秩等于其行列式的秩：

$$\text{Rank}(\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n) = \text{Rank}\left(\begin{array}{ccc} v_{11} & v_{12} & \cdots & v_{1n} \\\ v_{21} & v_{22} & \cdots & v_{2n} \\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\\ v_{m1} & v_{m2} & \cdots & v_{mn} \end{array}\right)$$

步骤：

1. 将向量组组成矩阵。

2. 求该矩阵的行列式。

3. 行列式不等于0，则向量组的秩等于向量的个数；等于0，则秩小于向量的个数。

方法 3：线性相关性检验

步骤：

1. 将向量组组成矩阵。

2. 求矩阵的行向量或列向量之间的线性相关性。

3. 若有\(p\)个线性相关的向量，则向量组的秩等于\(n-p\)，其中\(n\)是向量组中的向量个数。

注意事项

1. 求向量组的秩时，必须保证向量的个数大于等于向量组的秩。

2. 初等行变换不改变向量组的线性相关性，因此可以用来求解向量组的秩。

3. 行列式方法的缺陷是计算量大，对于高维向量组不适用。

4. 线性相关性检验方法适用于低维向量组，计算量相对较小。

3、如何求向量组的秩例题

如何求向量组的秩：例题

向量组的秩是线性代数中的一个重要概念，它衡量了向量组的线性相关性。本文将提供一个详细的例题，演示如何求向量组的秩。

步骤 1：将向量写成矩阵

对于给定的向量组 {v1, v2, ..., vn}，将其写成一个矩阵 V：

V = [v1 v2 ... vn]

步骤 2：变换矩阵至阶梯形

使用初等行变换（交换行、数乘行、行加行）将矩阵 V 变换至阶梯形：

```

U = [u1 u2 ... um]

```

步骤 3：计算秩

矩阵 U 的秩等于其行秩或列秩。行秩等于矩阵中非零行的个数，列秩等于矩阵中非零列的个数。

例题

求向量组 {v1 = (1, 2, 3), v2 = (2, 4, 6), v3 = (3, 6, 9)} 的秩。

解

1. 将向量写成矩阵

```

V = [1 2 3 | 2 4 6 | 3 6 9]

```

2. 变换矩阵至阶梯形

```

U = [1 0 0 | 0 1 0 | 0 0 0]

```

3. 计算秩

矩阵 U 有 2 行和 3 列，其中有 2 行和 1 列是非零的。因此，秩为：

```

秩(V) = 2

```

所给向量组的秩为 2，这表明该向量组是线性独立的。