曲面在指定点的切平面和法线方程（求曲面在某点的切平面和法线方程,法向量）

作者: 王南卿
来源: 投稿
2024-04-11

                         ﻿1、曲面在指定点的切平面和法线方程曲面在指定点的切平面和法线方程
曲面在指定点的切平面是通过该点的平面，并且与该点处的曲面相切。法线方程定义了通过该点指向切平面的法线的方程。了解这些方程对于几何学、计算机图形学和流体力学等领域至关重要。
切平面方程
考虑一个曲面 \(S\)，其由方程 \(F(x, y, z) = 0\) 定义。在点 \(P_0(x_0, y_0, z_0) \in S\) 处，切平面的方程由以下公式给出：
F_x(x_0, y_0, z_0) (x - x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0) (y - y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0) (z - z_0) = 0
其中，\(F_x\), \(F_y\), 和 \(F_z\) 分别是 \(F(x, y, z)\) 关于 \(x\), \(y\), 和 \(z\) 的偏导数。
法线方程
切平面在点 \(P_0\) 处的法线是与该平面的法向量相垂直的直线。法线方程为：
```
x - x_0 = F_x(x_0, y_0, z_0) t
y - y_0 = F_y(x_0, y_0, z_0) t
z - z_0 = F_z(x_0, y_0, z_0) t
```
其中，\(t\) 是任意参数。
例子
考虑球面 \(x^2 + y^2 + z^2 = 1\)。在点 \((0, 1, 0)\) 处，切平面方程为：
```
x = 0
```
法线方程为：
```
x - 0 = t
y - 1 = 0
z - 0 = 0
```
这定义了一个平行于 \(y\)-轴的直线，通过点 \((0, 1, 0)\)。
曲面在指定点的切平面和法线方程提供了对曲面在该点的局部行为的见解。这些方程在几何学、计算机图形学、物理学和工程等领域有着广泛的应用。
2、求曲面在某点的切平面和法线方程,法向量 求曲面在某点的切平面和法线方程，法向量
 1. 切平面方程
设曲面 S 的方程为 F(x, y, z) = 0，点 P(x?, y?, z?) ∈ S。过点 P 的切平面方程为：
```
F'(x?, y?, z?) · (x - x?) + F'(x?, y?, z?) · (y - y?) + F'(x?, y?, z?) · (z - z?) = 0
```
其中，F'(x?, y?, z?) = (F'x(x?, y?, z?), F'y(x?, y?, z?), F'z(x?, y?, z?)) 是 F(x, y, z) 在点 P 处的梯度向量。
 2. 法线方程
过点 P 的切平面的法向量的方程为：
```
x - x? = λF'x(x?, y?, z?)
y - y? = λF'y(x?, y?, z?)
z - z? = λF'z(x?, y?, z?)
```
其中，λ 是任意实数。
 3. 法向量
过点 P 的切平面的法向量为：
```
n = F'(x?, y?, z?)
```
3、曲面在点处的切平面方程和法线方程曲面在点处的切平面方程和法线方程
1. 切平面方程
曲面 F(x, y, z) = 0 在点 (x?, y?, z?) 处的切平面方程为：
```
F(x?, y?, z?) + F?(x?, y?, z?)(x - x?) + F?(x?, y?, z?)(y - y?) + F?(x?, y?, z?)(z - z?) = 0
```
其中，F?(x?, y?, z?)、F?(x?, y?, z?)、F?(x?, y?, z?) 分别是 F(x, y, z) 在点 (x?, y?, z?) 处的偏导数。
2. 法线方程
曲面 F(x, y, z) = 0 在点 (x?, y?, z?) 处的法线方程为：
```
x - x? = F?(x?, y?, z?)λ
y - y? = F?(x?, y?, z?)λ
z - z? = F?(x?, y?, z?)λ
```
其中，λ 是任意实数。
3. 举例
设曲面 F(x, y, z) = x2 + y2 + z2 - 1。求曲面在点 (1, 1, 1) 处的切平面方程和法线方程。
切平面方程：
```
F(1, 1, 1) + F?(1, 1, 1)(x - 1) + F?(1, 1, 1)(y - 1) + F?(1, 1, 1)(z - 1) = 0
```
其中，
```
F?(1, 1, 1) = 2, F?(1, 1, 1) = 2, F?(1, 1, 1) = 2
```
因此，切平面方程为：
```
2(x - 1) + 2(y - 1) + 2(z - 1) = 0
```
```
x + y + z - 3 = 0
```
法线方程：
```
x - 1 = 2λ
y - 1 = 2λ
z - 1 = 2λ
```
因此，法线方程为：
```
x = 1 + 2λ
y = 1 + 2λ
z = 1 + 2λ
```