已知法线和一点求平面方程（知道平面的法向量和一点求平面方程）

作者: 胡恩晞
来源: 投稿
2024-05-12

                         ﻿1、已知法线和一点求平面方程 已知法线和一点求平面方程
 步骤
已知法线向量 n = (a, b, c) 过点 P(x0, y0, z0) 的平面方程求解如下：
1. 写出点法式方程：
   - n ? (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
2. 化简方程：
   - ax + by + cz - (ax0 + by0 + cz0) = 0
   - ax + by + cz = d
其中，d = ax0 + by0 + cz0 是平面到原点的距离。
 实例
假设法线向量 n = (1, 2, 3) 过点 P(2, 1, -1) 的平面，求其方程。
步骤：
1. 写出点法式方程：
   - (1, 2, 3) ? (x - 2, y - 1, z + 1) = 0
2. 化简方程：
   - x + 2y + 3z - (2 + 2 - 3) = 0
   - x + 2y + 3z = 1
因此，已知法线和一点求得的平面方程为 x + 2y + 3z = 1。
2、知道平面的法向量和一点求平面方程 求平面方程
 1. 法向量和平面的关系
一个平面可以用其法向量和一点来定义。法向量是一个垂直于平面的单位向量，而该点是平面上的一点。通过将平面上任何一点与已知点相减，可以得到指向平面的向量。
 2. 平面方程的推导
根据法向量和平面的关系，可以推导出平面方程。设法向量为 n = (a, b, c)，给定点为 P = (x0, y0, z0)，平面上的任意一点为 Q = (x, y, z)。
n 与 QP 的点积为 0，即：
(a, b, c) · (x - x0, y - y0, z - z0) = 0
展开得到：
```
ax + by + cz - (ax0 + by0 + cz0) = 0
```
将点 P 的坐标代入后，得到平面方程：
```
ax + by + cz = d
```
其中 d = ax0 + by0 + cz0。
 3. 例题
已知平面的法向量为 n = (1, 2, -3) 和一点为 P = (2, -1, 1)，求平面方程。
解：
将 n 和 P 的坐标代入平面方程：
```
1x + 2y - 3z = d
1(2) + 2(-1) - 3(1) = d
-3 = d
```
因此，平面方程为：1x + 2y - 3z = -3
3、已知法向量和一点求法线方程已知法向量和一点求法线方程
简介
法线方程描述了通过给定点且垂直于给定平面的直线。如果已知法向量和一点，可以通过以下步骤求得法线方程。
步骤
1. 点法式表示平面方程
设已知点为 \(P_0(x_0, y_0, z_0)\)，法向量为 \(\mathbf{n} = (a, b, c)\)。平面方程的点法式为：
```
a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0
```
2. 方向向量法线化
将方向向量 \(\mathbf{d} = (-a, -b, -c)\) 单位化，得到法线方程：
```
-a(x - x_0) - b(y - y_0) - c(z - z_0) = 0
```
3. 化为参数方程
引入参数 \(t\)，法线方程可化成参数方程：
```
x = x_0 - at
y = y_0 - bt
z = z_0 - ct
```
4. 转换为一般方程
乘以常数 \(d\)，得到一般方程：
```
ax + by + cz + d = 0
```
其中，\(d = -ax_0 - by_0 - cz_0\)
示例
求过点 \((1, 2, 3)\) 且法向量为 \((2, -1, 4)\) 的法线方程。
1. 点法式表示平面方程：
   ```
   2(x - 1) - (y - 2) + 4(z - 3) = 0
   ```
2. 方向向量法线化：
   ```
   \mathbf{d} = (-2, 1, -4)
   ```
3. 法线方程：
   ```
   -2(x - 1) + (y - 2) - 4(z - 3) = 0
   ```
4. 参数方程：
   ```
   x = 1 - 2t
   y = 2 + t
   z = 3 - 4t
   ```
5. 一般方程：
   ```
   2x - y - 4z + 5 = 0
   ```