怎么判断收敛域的开闭（如何判断收敛域是开区间还是闭区间）



1、怎么判断收敛域的开闭

如何判断收敛域的开闭

收敛域是复数平面上一个连通开集，在这个开集中所有复数的幂级数都收敛。幂级数收敛域的边界称为发散边界。

1. 开收敛域和闭收敛域

开收敛域是不包含发散边界的收敛域，即收敛域的边界都属于开集。开收敛域的幂级数在开域内的任意点都收敛。

闭收敛域是包含发散边界的收敛域，即收敛域的边界至少有一点属于收敛域。闭收敛域的幂级数在收敛域内的任意点都收敛，包括发散边界上的点。

2. 判断收敛域开闭的方法

柯西-阿达玛定理

若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ 的收敛半径为 $R>0$，则：

当 $|z|

当 $|z|>R$ 时，级数发散；

当 $|z|=R$ 时：

若 $\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} R = L$，则级数在 $z=R$ 处收敛或发散。

若 $\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} R = \infty$，则级数在 $z=R$ 处发散。

若 $\lim_{n\to\infty} |a_n|^{1/n} R = 0$，则级数在 $z=R$ 处绝对收敛。

根值检验

若幂级数 $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ 的一般项 $a_n \neq 0$ 且存在常数 $L>0$ 使得：

当 $n$ 充分大时，$|a_n|^{1/n} \le L$，则级数的收敛半径 $R$ 为无穷大，收敛域为复平面。

当 $n$ 充分大时，$|a_n|^{1/n} \ge L$，则级数的收敛半径 $R$ 为 0，收敛域为原点。

当 $n$ 充分大时，存在常数 $\alpha>0$ 使得 $L - \alpha < |a_n|^{1/n} < L + \alpha$，则级数的收敛半径 $R=1/L$，且收敛域为 $|z|<1/L$ 的开圆盘。

3. 实例

实例 1

判断幂级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n^3+1}$ 的收敛域。

解：

使用根值检验：

当 $n$ 充分大时，$|a_n|^{1/n} = \left|\frac{1}{n^3+1}\right|^{1/n} = \frac{1}{(n^3+1)^{1/n}} \le \frac{1}{n^{3/n}} = \frac{1}{n^{1/3}}.$

因此，级数的收敛半径 $R$ 为无穷大，收敛域为复平面。

实例 2

判断幂级数 $\sum_{n=0}^\infty \frac{(2z)^n}{n+1}$ 的收敛域。

解：

使用根值检验：

当 $n$ 充分大时，$|a_n|^{1/n} = \left|\frac{2^n}{n+1}\right|^{1/n} = \frac{2}{(n+1)^{1/n}} \ge \frac{2}{2^{1/n}} = 1.$

因此，级数的收敛半径 $R=1$，收敛域为 $|z|<1$ 的开圆盘。发散边界为 $|z|=1$ 的圆。

2、如何判断收敛域是开区间还是闭区间

如何判断收敛域是开区间还是闭区间

收敛域是一个函数的定义域中，函数序列收敛到极限值的子集。收敛域可以是开区间、闭区间或半开区间。判断收敛域的类型至关重要，因为它提供了有关函数行为的见解。

1. 收敛到值

如果函数序列收敛到极限值，则收敛域至少是该极限值的一个开区间。例如，如果序列 \(x_n = \frac{1}{n}\) 收敛到 0，那么收敛域至少是 (0, ∞)。

2. 收敛到无限

如果函数序列发散到无穷大或负无穷大，则收敛域是一个闭区间。例如，如果序列 \(x_n = n\) 发散到正无穷大，那么收敛域是 [0, ∞]，因为序列在极限值 0 处不收敛。

3. 收敛到区间端点

如果函数序列收敛到区间端点，则收敛域是一个半开区间。例如，如果序列 \(x_n = (-1)^n\) 收敛到 -1，那么收敛域是 [-1, 1)。

4. 其他情况

如果函数序列不收敛或以其他方式收敛，则收敛域的类型将取决于收敛的特定性质。

注意：

收敛域的类型可能会随着函数序列的改变而改变。

对于闭区间或半开区间，极限值是否包括在收敛域中取决于函数序列收敛的方式。

3、如何判断收敛域是否包含单位圆

如何判断收敛域是否包含单位圆

1. 定义

收敛域是一个幂级数在其复数变量取值能够保证收敛的区域。为了判断一个收敛域是否包含单位圆，需要使用以下定理：

收敛域定理：

如果幂级数 Σa?z? 在 |z| = r 处收敛，则它在 |z| < r 的区域内收敛，但在 |z| > r 的区域内发散。

2. 判断方法

步骤 1： 确定幂级数的收敛半径 R，即幂级数在 |z| < R 的区域内收敛。

步骤 2： 检查收敛半径 R 是否大于或等于 1。

3.

如果 R ≥ 1，则收敛域包含单位圆。

如果 R < 1，则收敛域不包含单位圆。

4. 示例

考虑幂级数 Σ(n+1)z?。

步骤 1： 确定收敛半径 R：

对于幂级数 Σa?z?，收敛半径 R 为：

R = 1/lim┬(n→∞) |a?|1/n

因此，对于 Σ(n+1)z?，有：

```

R = 1/lim┬(n→∞) |(n+1)|1/n = 1

```

步骤 2： 检查收敛半径 R 是否大于或等于 1：

R = 1 ≥ 1

收敛域包含单位圆。